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Prérequis

Cours sur la diffraction de Fraunhofer.

Objectifs

(Page à n'aborder qu'en 2eme lecture.) Mettre en regard le formalisme décrivant la diffraction à l'infini par une pupille et le formalisme de la transformation de Fourier.

Diffraction et transformée de Fourier

En repérant un point de la pupille par la variable $\mathbf{r}$ , la fonction $A( \mathbf{r})$ caractérisant l'éclairement sur la pupille, l'amplitude diffractée dans une direction angulaire de vecteur directeur $\mathbf{u}$ s'écrit :

$\begin{eqnarray*} A ( \mathbf{u})\ &=&\ \int\!\!\!\int_{\mathrm{ pupille }} A( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right] \ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ &=& \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ I( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ \end{eqnarray*}$

Avec le terme $1/\lambda^2$ introduit pour normaliser l'élément de surface ${\mathrm{d}} \mathbf{r}$ , et ${\cal P} ( \mathbf{r})$ la pupille d'entrée, qui limite la fraction de l'onde plane émise par la source à l'infini. Pour un éclairement uniforme en incidence normale, ${\cal P} ( \mathbf{r})$ est typiquement une fonction porte à 2 dimensions.

Par ailleurs, le formalisme de la transformation de Fourier s'écrit :

$\tilde f ( \mathbf{u}) \ =\ \int\!\!\!\int f( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u} . \mathbf{r} \right] \ \ {\mathrm{d}} \mathbf{r}$

On se doute que l'air de ressemblance entre ces 2 dernières égalités vaut plus qu'un simple hasard.

La TF de la pupille

Si l'on peut supposer l'éclairement uniforme, l'amplitude diffractée dans une direction $\mathbf{u}$ est donnée par la transformée de Fourier de la fonction de pupille $\cal P$ , la variable de position étant normalisée en unité de longueur d'onde :

$A ( \mathbf{u})\ =\ A_0 \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}$

Les variables conjuguées sont la direction angulaire, repérée par le vecteur $\mathbf{u}$ , et $\mathbf{r} / \lambda$ la variable spatiale décrivant la pupille rapportée à la longueur d'onde.

Diffraction et filtrage

On peut utiliser les propriétés de la TF pour réécrire les caractéristiques de la diffraction. Une pupille de taille caractéristique filtre les hautes fréquences, càd l'information angulaire plus fine typiquement que $\lambda / a$ .

Plus la pupille est grande, moins elle filtre angulairement.