S'exercer

Luminances spectrales

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

On considère la luminance du corps noir, dans un domaine spectral de largeur $\delta \lambda$ autour de la longueur d'onde $\lambda$ . Exprimer les fréquence et intervalle de fréquence correspondant.

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La relation entre fréquence et longueur d'onde du rayonnement s'écrit : $\lambda = c/\nu$

La relation entre $\lambda$ et $\nu$ donne celle entre les intervalles spectraux ${\mathrm{d}} \lambda$ et ${\mathrm{d}} \nu$ , par différentiation.

La relation entre fréquence et longueur d'onde du rayonnement s'exprime : $\lambda = c/\nu$ . On en déduit :

${\mathrm{d}}\lambda = {\mathrm{d}}\left({c\over\nu}\right) = - c\ { {\mathrm{d}}\nu\over \nu^{2}}$

Le signe négatif rappelle que les échelles en longueur d'onde et fréquence sont inversées. Par la suite, avec une définition adéquate des bornes de l'intervalle, on écrit :

${\mathrm{d}}\lambda \ = \ c\ { {\mathrm{d}}\nu\over \nu^{2}} \mathrm{\ ou\ } {\mathrm{d}}\nu \ = \ c\ { {\mathrm{d}}\lambda\over \lambda^{2}}$

Question 2)

Exprimer la luminance du corps noir de 2 manières différentes, en fonction de ce qui précède.

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La luminance correspond à la luminance spectrale intégrée sur un intervalle spectral

La conservation de l'énergie conduit à égaler les expressions trouvées pour la luminance, fonction de $\lambda$ ou $\nu$ .

Rappel

${{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) = {2 h c^{2} \lambda^{-5} \over \exp\displaystyle{hc\over \lambda\ k_BT} -1}$

La luminance, intégrée sur l'intervalle spectral, s'écrit donc de 2 façons différentes, qui doivent rendre compte de la même énergie dans l'intervalle spectral considéré :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T)\ {\mathrm{d}} \nu \ = \ {{ \mathcal{B}}}_\lambda (T)\ {\mathrm{d}}\lambda$

d'où

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) = {{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) { {\mathrm{d}}\lambda\over {\mathrm{d}} \nu} = {{ \mathcal{B}}}_\lambda (T) {\lambda^{2}\over c} = {2 h c \lambda^{-3} \over \exp\displaystyle{hc\over \lambda\ k_BT} -1} = {2 h c^{-2} \nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

La correspondance est établie.