La métrique

Auteur: Andrea Cattaneo

Définition

Nous avons écrit que la présence de matière modifie la géométrie de l'espace. En fait, la propriété modifiée est la métrique, c'est-à-dire la loi qui donne la distance entre deux points.

La métrique euclidienne

Pour comprendre qu'est-ce que l'on entend par la loi qui donne la distance entre deux points, commencons par le cas simple de deux points de coordonnées (x_1,y_1) et (x_2,y_2) sur le plan cartésien (Fig. 1a). La distance dl entre les deux points est donnée par le théorème de Pythagore :

${\rm d}l^2={\rm d}x^2+{\rm d}y^2$ (1),

où ${\rm d}x = x_2-x_1$ et ${\rm d}y = y_2-y_1$ .

Nous pouvons généraliser l'équation (1) au cas de deux points (x_1,y_1,z_1) et (x_2,y_2,z_2) dans l'espace en troi dimensions. En appliquant deux fois le théorème de Pythagore (Fig. 1b), nous trouvons :

${\rm d}l^2={\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2$ (2).

Les équations (1) et (2) expriment la métrique euclienne, respectivement en deux et trois dimensions. La métrique euclidienne est la loi qui permet de calculer la distance dl entre deux points n'importe quels dans la géométrie d'Euclide.

Les équations (1) et (2) sont formulées en coordonnées cartésiennes orthogonales. On aurait pu considérer d'autres systèmes de coordonnées, par exemple, en deux dimensions, les coordonnées polaires. En coordonnées polaires (Fig. 2a), un point P est identifié par deux coordonnées : la distance r de l'origine O et l'angle $\theta$ que la droite OP forme avec une droite de référence. Dans ce système de coordonnées, la distance ${\rm d}l$ entre les points $(r,\theta)$ et $(r+{\rm d}r,\theta+{\rm d}\theta)$ est déterminée par l'équation :

${\rm d}l^2 = {\rm d}r^2+r^2{\rm\,d}\theta^2$ (3),

qui exprime, encore une fois, le théorème de Pythagore, cette fois en coordonnées polaires.

Cépendant, un changement de coordonnées n'est pas un changement de métrique. Les équations (1) et (3) ont des formes différentes, mais elles correspondent à la même métrique parce qu'elles donnent le même résultat pour la distance ${\rm d}l$ entre deux points*. Un changement de métrique est – nous verrons bientôt – quelque chose de plus profond.

*Affirmer que les équations (1) et (3) donnent le même résultat pour la longeuer ${\rm d}l$ est correct dans la limite que ${\rm d}l$ est infinitésimale. Autrement, on ne peut pas traiter l'arc de cercle de longeuer $r{\rm\,d}\theta$ comme un segmant et l'on ne peut pas supposer qu'il soit perpendiculaire au segment de longeure ${\rm d}r$ .

La métrique sur une sphère

Pour comprendre comment la métrique peut différer de celle d'Euclide, considérons la géométrie sur une surface sphérique (par exemple, le globe terrestre; Fig. 2b).

Un lieu sur le globe est identifié par deux coordonnées : la latitude $\theta$ et la longitude $\phi$ , étant donné que la distance r du centre de la Terre est la même pour tous les points. A $\phi$ , constante, une variation infinitésimale ${\rm d}\theta$ de la latitude correspond à un déplacement de ${\rm d}l=r{\rm\,d}\theta$ , si les angles sont exprimés en radians. A $\theta$ constante, une variation infinitésimale ${\rm d}\phi$ de la longitude correspond à un déplacement de ${\rm d}l = r\,\cos\theta{\rm\,d}\phi$ . Dans la limite que des arcs infinitésimaux peuvent être considérés rectilignes, le théorème de Pythagore donne :

${\rm d}l^2=r^2{\rm\,d}\theta^2+r^2\,\cos^2\theta{\rm\,d}\phi^2$ (4).

L'équation (4) est fondamentalement différentes des équations (1) et (3). Les équations (1) et (3) donnent la distance entre deux points sur le plan, donc une surface platte. L'équation (4) donne l'élément infinitésimal de distance sur une sphère, donc une surface courbe.

Pour mieux comprendre cette différence, considérons la distance l entre le pôle Nord et le pôle Sud de la Terre : l est le diamètre terrestre si on voit les pôles comme deux points dans l'espace en trois dimensions et le méridien terrestre si on voit les pôles comme deux points sur la surface terrestre. La métrique (2) correspond au premier cas, l=2r . La métrique (4) correspond au deuxième cas, $l=\pi r$ . La métrique (4) est non-euclidienne parce qu'elle mesuren les distances sur une surface courbe.

Pour résumer, l'équation (1) donne la métrique sur une surface platte. L'équation (2) donne la métrique dans un espace plat (en espace qui obéit à la géométrie d'Euclide). La notion de distance sur une surface peut être généralisée à des surfaces courbes. C'est comme ça que l'on passe de la métrique (1) à la métrique (4). De ma même manière, la notion de distance dans l'espace en troi dimensions (équation 2) peut être généralisée à des espaces courbes, qui correspondent à des métriques plus complexes et n'obéissent pas à la géométrie d'Euclide.

Forme générale

Pour un système de coordonnées n'importe lesquelles, la distance spatiale ${\rm d}l$ entre le point de coordonnées (x_1,x_2,x_3) et le point de coordonnées $(x_1+{\rm d}x_1,x_2+{\rm d}x_2,x_3+{\rm d}x_3)$ est donnée par la formule :

${\rm d}l^2=\Sigma_{i,j}g_{ij}{\rm\,d}x_i{\rm\,d}x_j=g_{11}{\rm\,d}x_1^2+g_{12}{\rm\,d}x_1{\rm\,d}x_2+g_{13}{\rm\,d}x_1{\rm\,d}x_3+g_{21}{\rm\,d}x_2{\rm\,d}x_1+g_{22}{\rm\,d}x_2^2+g_{23}{\rm\,d}x_2{\rm\,d}x_3+g_{31}{\rm\,d}x_3{\rm\,d}x_1+g_{32}{\rm\,d}x_3{\rm\,d}x_2+g_{33}{\rm\,d}x_3^2$ (5).

La matrice $g_{ij}$ en équation (5) définit la métrique. Dans un système de coordonnées cartesiennes orthogonales, x_1=x , x_2=y et x_3=z . Dans ce système de coordonnées, la métrique euclidienne prend la forme très simple $g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$ et $g_{ij}=0$ pour $i\ne j$ .

Forme diagonale

Dans d’autres géométries ou d'autres systèmes de coordonnées, la métrique prend des formes plus compliquées. Heureusement, on peut toujours trouver un système de coordonnées astucieux dans lequel les termes $i\ne j$ disparaissent localement. On peut démontrer que cette propriété suit de la symétrie de la métrique, c'est-à-dire du fait que la distance entre A et B doit être égale à la distance entre B et A. Pour cette raison, nous ne considérerons des métriques de la forme (dite diagonale) :

${\rm d}l^2=g_{11}{\rm\,d}x_1^2+g_{22}{\rm\,d}x_2^2+g_{33}{\rm\,d}x_3^2$ (6).

Des formes plus complexes sont rarement considérées, même dans les cours de maîtrise.

En coordonnées sphériques (Fig. 2b), x_1=r , $x_2=\theta$ et $x_3=\phi$ . Nous laissons au lecteur l'exercice de calculer les valeurs des coéfficients $g_{11}$ , $g_{22}$ , $g_{33}$ pour la métrique euclidienne dans un tel système de coordonnées.